Capítulo
I (continuación)
Del
libro: Hacia la creatividad cuántica
Autora:
Lilia Morales y Mori
El teorema de los cuatro colores
Si mis cálculos
matemáticos estaban en lo cierto terminaría el encaje de la mantilla española
para mayo, justo el día de las madres. En segundo año de secundaria era
obligatorio en el colegio, cursar un taller de labores en tela. Yo había
seleccionado al principio del año escolar, un hermoso diseño de un pañuelo
bordado en encaje de guipur y deshilado sobre tela de lino. La madre María era
la maestra del taller y me había advertido que esa era una labor muy difícil de
realizar. No obstante, acepté el reto. Para finales de enero había terminado el
bordado de la tela y había iniciado el encaje del borde del pañuelo.
Una tarde, en que la
madre María veía con satisfacción mi trabajo, me mostró una bella labor en tul
de seda. Era una mantilla española. Como estaba a unas semanas de terminar el
pañuelo, la madre me autorizó para iniciar un nuevo bordado. Yo misma hice el
diseño compuesto de pequeños racimos de flores, que bordaría sobre tul de seda
negro. Seleccioné un hilo plateado también de seda e inicié inmediatamente el
bordado. Faltaba un mes y medio para el diez de mayo y yo aún no terminaba ni
el pañuelo ni la mantilla. Había hecho cálculos de tiempo y justo, trabajando
una hora y cuarenta y cinco minutos al día, concluiría ambos trabajos para la
fecha de entrega.
Escuchaba música de
Charlie Parker, mientras bordaba con cierta serenidad la mantilla. Pero algo me
distraía poderosamente, era un libro que recién había adquirido sobre
matemáticas, en particular el capítulo sobre grafos, de topología. Vi el reloj,
habían pasado 105 minutos, guardé con gran nerviosismo el bordado y me dispuse
a releer el tema del libro que tanto me inquietaba. Tiempo atrás ya había
descubierto los puentes de Königsberg, pero en este libro se exponía de forma
más amplia y amena dicho tema, pero sobre todo, se destacaba con más amplitud
“El teorema de los cuatro colores”.
Francis Guthrie
(1831-1899) enunció el teorema que decía: Se necesitan al menos cuatro colores
para colorear un mapa sin que ninguna región tenga una frontera común del mismo
color. Dicho teorema quedó sin resolver por más de un siglo, hasta que
finalmente fue demostrado con la ayuda de una computadora en 1976, donde se
comprobó que tres colores eran insuficientes y cinco resultaban excesivos. El
problema podría parecer un tanto trivial pero a mí me interesó lo suficiente,
como para dedicarle más tiempo que el que había convenido para mis obligaciones
con el taller de bordado.
Fue tan obsesivo de
mi parte este teorema que me alejó por completo de mis obligaciones, al grado de
no dedicarle el tiempo necesario a ninguna de las dos costuras. Naturalmente
tenía que comprobarlo por mí misma, de tal modo tracé un cuadro con divisiones
irregulares, pero añadí una limitante en el modelo enmarcándolo de color rojo
(figura 23). Realicé más de veinte copias con papel carbón y le pedí a Julia
que iluminara algunas de ellas, yo por mi parte, iluminé todas las restantes.
Figura 23. Mapa enmarcado
para ilustrar el teorema de los cuatro colores
Cuando Julia terminó
de colorear el dibujo que le había entregado, me dijo: ¡No se puede! ¿Por qué
no se puede? Le pregunté. Porque para el espacio 16 necesito otro color (figura
24). Este no puede ser azul, ni verde, ni amarillo, ni rojo, dijo con
desaliento.
Figura 24. Mapa no resuelto
de los cuatro colores
Tienes razón, pero
creo que no has aprovechado bien tus colores. Le di otra copia y le pedí que la
iluminara cuidando de usar más espacios rojos en el centro. Después de algunos
intentos que fueron a parar a la basura logró iluminar correctamente el cuadro
(figura 25)
Figura 25. Mapa resuelto de
los cuatro colores
Habían pasado algunas
semanas y yo me encontraba totalmente absorta en la tarea de iluminar cientos
de “mapas” de todos tipos y formas que yo me inventaba. Después de esa
experiencia agotadora, descubrí varias cosas: en primer lugar, que el teorema
tenía que ser cierto, pero yo carecía de elementos matemáticos suficientes para
establecer un argumento válido para esa afirmación. Y en segundo lugar descubrí
que había olvidado por completo mis dos costuras. Ese mes fue terrible, mi mamá
había recibido tres citatorios del colegio, el primero fue por afirmar en la
clase de Doctrina Cristiana que el “hombre había descubierto el fuego”. El
segundo por afirmar en la misma clase que: “los hombres habían inventado la
rueda” y el tercero por incumplimiento en el taller de costura.
El diez de mayo sufrí
una penosa humillación. En el salón de exposiciones donde todas las costuras de
mis compañeras se exhibían envueltas en papel celofán adornadas con un hermoso
moño de color rojo y una tarjeta dedicada a la madre, mis dos costuras
permanecían sobre una mesa, inacabadas, en una irónica composición que la madre
María había ingeniado, con todos los implementos de la labor: telas, hilos,
agujas, tijeras, dedales, ganchos, aros y por supuesto mis diseños en papel. Mi
mamá estaba bastante molesta. Durante el trayecto a casa, sujetando fuertemente
con las dos manos el volante, y sin apartar la vista del frente, me dijo: eres
una irresponsable ¿de qué te sirve ser perfeccionista si no terminas nada de lo
que empiezas? Por supuesto continuó diciéndome toda una letanía de cosas,
incluso en la actualidad, sus palabras en muchas ocasiones llegan a mi memoria
como un doloroso recuerdo. En efecto nunca terminé mis estudios universitarios
de arquitectura ni de biología, no obstante después de haber hecho una
brillante tesis en investigación biomédica y haber obtenido en ambas carreras
excelentes notas.
Por fortuna olvido
con facilidad las cosas que me hieren y como siempre he encontrado en las cosas
sencillas una gran felicidad, de tal modo, pasados unos días, me aboqué
nuevamente al teorema de los cuatro colores. Era imposible, me encontraba sin
argumentos matemáticos para validad con papel y lápiz el teorema, así que me
centré en otra parte del problema. Aunque mis conocimientos sobre álgebra eran
aún muy elementales, me dispuse encontrar una fórmula que me permitiera
establecer, que cantidad de los cuatro colores se necesitaban para garantizar
el correcto coloreado de un mapa.
Mi primer
planteamiento fue el siguiente: E es igual a la cantidad de espacios por
colorear del mapa. A es el color amarillo. B es el color verde. C es el color
azul y D es el color rojo. De tal modo:
E = A + B + C + D
Suponiendo que
tenemos un mapa E de 44 espacios incluyendo el color rojo del marco, dividí 44
entre 3, el resultado es 14.66 nos olvidamos de las fracciones y establecemos
que necesitamos 14 espacios amarillos y 14 espacios verdes. De tal modo ahora
sabíamos que:
A = E/3 y B =
E/3
Si sumamos el valor
de A y de B obtenemos un total de 28 espacios. Ahora tenemos que restarle a la
cantidad total de espacios de E, los 14 de A y los 14 de B. 44-28 es igual a
16. Es decir: nos faltan 16 espacios para colorear.
C = E - (A + B) / 1.7
Los 16 espacios
restantes los dividí entre 1.7 esto es = 9 (nos olvidamos de la fracción) de
tal modo tenemos que 9 sería el valor para C, y el valor para D sería el resto
que es igual a 7.
D = E - (A + B + C)
Ahora solo restaba
comprobar la fórmula. Le pedí a Julia, mi incansable nana, enfermera, cómplice,
amiga, auxiliar y colega en aventuras matemáticas que iluminara un mapa. Le
dije: lo puedes iluminar como tú quieras, pero hay una condición necesaria,
tienes que tener solamente 14 espacios amarillos, 14 espacios verdes, 9
espacios azules y 7 espacios rojos incluyendo el marco. ¿Y si no me queda? Me
dijo. ¡Inténtalo! Le contesté y me fui a leer el siguiente capítulo del libro.
Al día siguiente que
era sábado por la tarde, cuando yo estaba durmiendo una siesta, sentí que
alguien me tocaba suavemente el hombro y me decía: niña… niña… ¿estás dormida?
Estaba, le contesté, hasta que me despertaste. Abrí un ojo y vi a Julia
agitando el mapa frente a mi cara. ¡Lo logré…lo logré! Me incorporé de
inmediato, tomé la hoja que observé detenidamente con una gran sonrisa en mi
rostro (figura 26)
Figura 26. Mapa coloreado con
la fórmula limitante del marco
Estaba en lo cierto,
la fórmula servía para cualquier mapa por más difícil que éste fuera. Aunque en
mapas muy pequeños, menores de 10 espacios y con figuras complejas, el valor de
D (color rojo) puede intercambiarse por el valor de C (color azul) esto es
debido a la limitante roja del marco.
Tal vez el lector
esté preguntándose el porqué de los parámetros de la fórmula. En realidad fue
muy sencillo, después de iluminar cientos de mapas, observé que casi siempre
dos colores resultaban en igual cantidad, los dos colores restantes guardaban
una diferencia proporcional muy similar en todos ellos. No fue nada difícil
encontrar que dividiendo entre 3 el total de los espacios encontraría el valor
de A y B, la división del resto de los espacios lo hice por “tanteo”, dividí
primero entre 1.5, después 1.6 y finalmente descubrí que 1.7 era el divisor
correcto. La observación metódica de un fenómeno en sí, nos permite a priori
suponer su comportamiento, las matemáticas nos ayudan a definirlo y…
visualmente, la distribución de los colores en esta proporción numérica,
muestra un agradable equilibrio.
(Continuará)
Nota:
El índice de los capítulos de "Hacia la creatividad cuántica" se
encuentra en el cintillo izquierdo del blog.
