La Flor de Pétalos Infinitos

Fragmento del capítulo I

Del libro: Hacia la creatividad cuántica

Autora: Lilia Morales y Mori 

Recién había cumplido 13 años cuando mi hermano pequeño dejó su cuna, como le habían comprado una hermosa recámara, supuse que ya no usaría su antigua camita, así qué con serrucho en mano, me dispuse a cortar el mueble en pedacitos. La madera resultante la usaría para hacer un tablero y las piezas de un juego que tenía en mente, el gusto no me duró mucho tiempo porque mi mamá me descubrió en tan lamentable acción, bastante molesta me aplicó un fuerte regaño, el castigo en cambio no me resultó tan terrible, estaría encerrada en mi habitación sin salir a jugar durante dos semanas. Como los primeros días no se me ocurrió nada, decidí leer algunos artículos de la revista “Selecciones” que en aquella época era muy popular, en casa la recibíamos con el correo y yo la coleccionaba. De una de sus páginas, la fotografía de un ramillete de flores me llamó la atención, la corola de las inflorescencias parecía crecer hasta el infinito, y eso me dio una idea. Dibujaría los pétalos de la flor, pero el dibujo estaría sometido a ciertas reglas. Iniciaría con una inflorescencia muy simple compuesta por tres pétalos, representados por tres líneas en el centro de una circunferencia. (figura 14). Cada línea a su vez, crecería de la misma forma extendiéndose en círculos hasta el infinito.

Figura 14. Desarrollo de una inflorescencia fractal

Tracé el dibujo en una cartulina, tuve que comenzarlo varias veces porque al aumentar los círculos, la cantidad de pétalos o rayas, crecía de forma alarmante y terminaban apretujándose todas las líneas. De hecho, sólo pude dibujar una flor de siete círculos con 192 rayas (figura 15), pronto me di cuenta que en el siguiente círculo debía dibujar 384 rayitas, en ese momento me di por vencida y no por falta de paciencia, sino porqué necesitaba duplicar o triplicar el tamaño de la cartulina para qué se pudiera apreciar la interesante figura que se estaba formando.

Figura 15. Inflorescencia fractal

Como había observado que en cada círculo se duplicaba la cantidad de rayitas del círculo anterior (figura 16), pensé que existiría un método sencillo de saber por ejemplo, cuantas rayitas contendría el círculo 325.

Figura 16. Relaciones periódicas de una inflorescencia de 3 pétalos

Me tomó varios días de mi obligado encierro desarrollar una fórmula, yo no era experta en fórmulas, ni los soy ahora, pero con cierto entusiasmo, sentido común y un poco de lógica, llegué al siguiente argumento.

Fórmula:

·         Denominé “R” a la cantidad de rayas por círculo

·         Denominé “c” al círculo que contiene a R

La fórmula para encontrar la cantidad de rayas por círculo quedó así:

R= 3(2) ^(c-1)

Para saber si estaba en lo correcto, probé la fórmula con los números del cuadro que ya conocía y en efecto funcionó. Aplicando la fórmula para saber cuántas rayas puede contener por ejemplo, el círculo 20, lo primero fue restar:

·         c-1 = 20-1 = 19

·         2 elevado a la potencia 19 = 524288

·         524288 X 3 = 1572864

El número de rayitas que debería contener el número 20, era monstruoso, nada menos que la cantidad de: un millón quinientos setenta y dos mil ochocientos sesenta y cuatro. Efectivamente era una flor de pétalos infinitos. Por supuesto, después de ver el resultado del cálculo anterior, ni siquiera intenté encontrar la cantidad de rayitas que puede contener por ejemplo, el círculo 325. Este hermoso universo creado de la nada, me mantuvo bastante entretenida los días restantes.

Cuando se es observador, se adquiere la capacidad de descubrir cosas que de lo contrario podrían pasar desapercibidas. Así que debo volver a la figura 16 para apreciar la existencia de un patrón regular que se repite cada cuatro eventos. Los números que se repiten lo hacen en las terminaciones de: 6, 2, 4 y 8 (ver en la figura 16 las líneas de A, B, C, y D). Cuando descubrí esta curiosa relación, me pareció más bella la figura de la flor de pétalos infinitos, y más aún cuando me percaté que la suma de los números que acompañan la terminación de 6, siempre suman 9 o 0 (por ejemplo: 1536, sumamos los números previos al 6 = 1+5+3 = 9 si eliminamos el 9, nos queda 0). Los números que acompañan a la terminación 2 siempre suman 1 (por ejemplo: 3072, 3+7 = 10 y 1+0 = 1). Los números que acompañan a la terminación 4 siempre suman 2 (por ejemplo: 6144, 6+1+4 = 11 y 1+1 = 2). Los números que acompañan a la terminación 8 siempre suman 4 (por ejemplo 12288, 1+2+2+8 = 13 y 1+3 = 4).

Hasta aquí mi asombro era indescriptible, aunque aún me faltaba una última observación. Al ver detenidamente los primeros cuatro números de la serie, sin contar el 3, vi que el 6, 12, 24 y 48 indicaban en su inicio, la suma que contendrían siempre los números anteriores a dicha terminación, que sería siempre: 0, 1, 2 o 4. De ser esto cierto, el número 1572864 que había encontrado para el número de rayas del círculo 20, por ser de terminación 4, sus números previos debían de sumar 2. Veamos: 1+5+7+2+8+6 = 2 ¡Esto me pareció sorprendente!

Con el tiempo llegaría a descubrir otros patrones numéricos que recrean universos maravillosos a través de los fractales. Para traducir la naturaleza de los seres vivos y del universo, es necesario encontrar el código oculto de sus números. Somos habitantes de un espacio numérico intangible, donde deambulan las formas atrapadas en modelos dinámicos, ellas son producto inherente de sucesos que se repiten con una periodicidad asombrosa, dotada casi siempre de extraordinaria complejidad y belleza.

(Continuará) 

Nota: El índice de los capítulos de "Hacia la creatividad cuántica" se encuentra en el cintillo izquierdo del blog. 

Criptografía - Código Robby

Interesante desarrollo criptográfico de la colección "Juegos para armar ideas"

de Lilia Morales y Mori.

Ver Video...

Los puentes de Königsberg

Fragmento del capítulo I

Del libro: Hacia la creatividad cuántica

Autora: Lilia Morales y Mori 

Durante mis desordenadas lecturas en la librería de la calle de Matamoros en Monterrey, donde mi padre era el gerente, un día descubrí a Leonhard Euler (1707-1783). No está de más decir que este ilustre personaje, gran matemático y físico suizo fue mi primer amor infantil. En el libro de la Historia de las Matemáticas, que yo leía con gran interés, encontré un tema que no tardaría en enriquecer mi inquieta y laboriosa imaginación. El argumento se refiere a un lugar llamado Königsberg, antiguo nombre de una ciudad rusa de Kaliningrado que durante el siglo XVIII formaba parte de Prusia. A dicha ciudad la atraviesa el río Pregolya, el cual se bifurca para rodear con sus brazos a la isla Kneiphof, dividiendo el terreno en cuatro regiones distintas. (figura 11) Tales regiones en aquel tiempo estaban unidas mediante siete puentes llamados: Puente del Herrero, Puente Conector, Puente Verde, Puente del Mercado, Puente de Madera, Puente Alto y Puente de la Miel.

Figura 11. Los puentes de Königsberg

Dadas las características del puente, el río y la ciudad, los intelectuales de la época formularon un célebre problema matemático, que consistía en encontrar un recorrido para cruzar a pie toda la ciudad, pasando sólo una vez por cada uno de los puentes, y regresando al mismo punto de inicio. Creí qué si los grandes pensadores de esa época se habían planteado este problema, por supuesto, tenía que tener una solución. Y bueno, no tardé en darme a la expedita tarea de trazar infinidad de recorridos posibles, todos completamente infructuosos.

Para mi tranquilidad investigativa de niña perseverante, descubrí que Euler determinó, en el contexto del problema, que los puntos intermedios de un recorrido posible, necesariamente han de estar conectados a un número par de líneas. En efecto, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el único modo de salir de ese punto es por una línea diferente. Esto significa que tanto el punto inicial como el final serían los únicos que podrían estar conectados con un número impar de líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problema dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no podría existir más de un único punto conectado con un número impar de líneas.

Con este fantástico argumento, aprendí muy a tiempo varias cosas que habría de utilizar una y otra vez en el diseño de mis futuros juegos y modelos matemáticos. Aunque estoy segura que el más importante aprendizaje sobre este problema, es que jamás se debe decir: ¡No se puede!, lo significativo es argumentar por qué ¡No se puede! Más adelante, a la edad de veinticuatro años habría de profundizar en la teoría de grafos y en la topología, área de las matemáticas cuyo origen directo puede situarse en la resolución de este problema.

Una tarde habitual como todas, había sacado mis coloridos poliedros de cartón y los había alineado sobre la mesa donde hacía mi tarea, al terminarla, como casi siempre solía hacer, jugaba un rato con los triángulos del hexágono. Me llamaban mucho la atención las diferentes figuras que podían formarse en el centro. Había realizado una decena de ellas, aunque hermosas, eran irregulares, pero para mi sorpresa, no tardé en encontrar otra figura regular. ¡El rombo! y no lo dudé por ningún momento, pero preferí asegurarme. Me dirigí a la sala, estando frente al librero, contemplé los doce tomos de la enciclopedia. Alcancé el pesado libro que correspondía a la “R” pasé las páginas hasta que di con la palabra que buscaba. Leí con atención: El rombo es un cuadrilátero paralelogramo cuyos cuatro lados son de igual longitud. Los ángulos interiores opuestos son iguales. Sus diagonales son perpendiculares entre sí y cada una divide a la otra en partes iguales. No cabía la menor duda, había encontrado una cuarta figura en el interior del hexágono que se podía construir con los seis triángulos de mi elemental diseño.

El hallazgo me obligó a pensar en la posibilidad de que pudiera existir otra figura regular, y para fortuna mía, después de muchos intentos, encontré ni más ni menos, a la edad de trece años: ¡El triángulo! No lo podía creer. Ese fue un día de fiesta que celebré con Julia en la cocina, haciendo un pastel. Todos en mi casa sin saberlo, participaron en el evento: el pastel era de forma triangular.

Las cinco figuras regulares de mi hexágono (figura 12) permanecieron muchos años en el cajón del olvido. No obstante, yo tenía la certeza que los modelos que había desarrollado en mi infancia y mi adolescencia, podían darme alguna información respecto a la actividad mental que desarrolla el pensamiento humano, a través de la búsqueda de soluciones de un problema en particular. Debo decir entre paréntesis, que a pesar de mi gran fascinación por las matemáticas, un día decidí estudiar la carrera de Biología en la Facultad de Ciencias de la UNAM, lo que me permitió desarrollar algunos trabajos de investigación en el área biomédica. Por supuesto, en uno de mis proyectos experimentales, en el departamento de bromatología, desarrollé una fórmula matemática para leer las lecturas del polígrafo que obtenía gráficamente, al estudiar segmentos de intestino de ratón sometido a una dieta específica.

Figura 12. Transformaciones de un módulo hexagonal polivariante.

Experimentar el modelo de las cinco figuras regulares que se obtienen con los seis triángulos, con un buen número de personas, me permitió descubrir varias cosas: generalmente, la primera figura que se encuentra es el círculo seguida del hexágono y la estrella. Como dato curioso, por lo general, los hombres encuentran primero el hexágono y las mujeres el círculo. En cuarto lugar y con cierta dificultad encuentran el rombo, y muy pocas personas tienen la paciencia para encontrar el triángulo. Es importante entregarle a la persona que desee descifrar este enigma los seis triángulos ordenados por ejemplo, de la forma que se ilustra en la figura 13, y pedirle que forme un hexágono, cuidando que al centro se forme una figura regular, es decir, que tenga todos sus lados iguales. 

Figura 13. Los 6 triángulos del módulo polivariante hexagonal

(Continuará)

Nota: El índice de los capítulos de "Hacia la creatividad cuántica" se encuentra en el cintillo izquierdo del blog. 

La serpiente que se muerde la cola

La Serpiente Que Se Muerde La Cola

Interesante acertijo de la colección "Juegos para armar ideas" de Lilia Morales y Mori.

Ver Video:

Los cinco sólidos platónicos

Capítulo I

Del libro Hacia la creatividad cuántica

Autora: Lilia Morales y Mori 

Los días lluviosos de finales del verano y principios del otoño, me llenaban de cierta sensación melancólica, que yo aprovechaba para releer los apuntes de la historia de las matemáticas que había hecho en la librería. Una húmeda y calurosa tarde me había propuesto construir con cartulina de colores los cinco sólidos platónicos (figura 9). Tracé en un cartoncillo el patrón de cada una de las figuras, las recorté y las pegué uniendo los bordes. Me parecieron tan hermosas, que las guardé en la caja de los caracoles, de vez en cuando las sacaba del estuche y alineaba los poliedros de cartón, sobre la mesa donde solía hacer mi tarea. 

Figura 9. Los cinco sólidos platónicos

Mi figura favorita era el tetraedro, seguramente porque el triángulo al igual que los números triangulares me cautivaban. Un día descubrí qué sumando los dígitos de cualquier número de la serie triangular, sumaban siempre: 1, 3, 6, o 9. Y más tarde descubrí que el nueve era un número maravilloso. ¿Pero qué número no es maravilloso? Desde sus inicios los primeros sistemas de numeración, cuando los hombres empezaron a contar con los dedos, con piedras, o marcas de madera, puntos o rayas, crearon números de representación muy simple. Pero el conocimiento y el pensamiento humano en constante desarrollo evolutivo, habría más tarde de dar lugar al sistema de numeración egipcio, maya, griego, romano, indoarábigo etc. Cada uno con sus valiosas aportaciones para el entendimiento y comprensión de nuestro entorno y nuestro propio universo.

Cuando era niña me atrapaban esos símbolos que veía en las ilustraciones de mis libros favoritos. Y cuando todo parecía ya no poder sorprenderme más, con el paso de los años, aparecieron los sistemas de numeración binario, donde cualquier número del universo puede escribirse con tan sólo dos dígitos: el 1 y el 0. La informática y la electrónica le darían un nuevo contexto a las matemáticas del siglo XXI, donde toda la información que se emite y se recibe a través de las computadoras cada día, es simplemente mediante “ceros” y “unos” que son transformados en imágenes, sonidos o en algún formato digital. Pero cabe la pena preguntarse: ¿Cuánto durará la era digital? Tal vez la computación cuántica con su enigmático código esté frente a nosotros, esperando sorprendernos aún más.

A mis doce años, en 1958, la vida transcurría lentamente, y yo tenía todo el tiempo del mundo para interpretar a mi ingenua manera, una milésima de una microscópica parte de la historia del conocimiento humano. Un día de ese año, después de terminar la tarea, me dispuse a colorear el dibujo que había hecho en cartulina de un hexágono (figura 10A). Con una regla uní los vértices opuestos de modo que se formaron seis triángulos equiláteros (figura 10B). A continuación, tomé un compás y tracé en el centro del hexágono un círculo (figura 10C). Pensé que era gracioso cómo se veía el círculo dentro del hexágono, ya que, el hexágono es una figura que se construye a partir de un círculo. Me quedé viendo la figura un rato y casi impulsivamente tomé las tijeras y recorté cada uno de los seis triángulos. Volví a unir los triángulos para formar el hexágono, pero cuidé muy bien de poner en el centro sólo vértices en blanco, de modo que pude dibujar en medio un pequeño hexágono (figura 10D). Nuevamente reacomodé los seis triángulos, dejando los vértices blancos en el centro, donde dibujé una estrella (figura 10E).  

Figura 10 (A,B,C,D,E) Piezas de un módulo hexagonal polivariante

Todo fue sumamente sencillo y divertido. Próxima a cumplir trece años, me había involucrado sin proponérmelo, en el inquietante mundo de las transformaciones, es decir: en el espacio de los Modelos Polivariantes. Tal es el ejemplo del modelo físico de la figura 10E, de la cual se podían obtener otras formas que representaran o significaran figuras completamente diferentes. Sentí en ese momento un gran deseo de mostrarle mi modelo a alguien. Julia, mi nana, que siempre me decía: ¿qué haces mi niña? cuando me veía muy concentrada en alguna cosa. Se me acercó y me dijo la consabida pregunta: Yo le respondí, unas figuras mágicas. ¿Y por qué son mágicas? Porque cambian de forma. A ver, enséñame.

Julia tomó con sus manos regordetas los seis triángulos de la figura 10E y preguntó: ¿qué hay que hacer? Junta los triángulos de manera que se unan de esta forma, le señalé un hexágono, pero fíjate que en el centro se forme una figura regular. ¿Cómo que regular? Qué tenga todos sus lados iguales. ¡Ah! ¿Voy bien? No, este lado es diferente. Tienes razón… ummm... ¿Y ahora? Ya vas mejor. No pasó mucho rato cuando le dije aplaudiendo de gusto, muy… muy… bien Julia, ya tienes el círculo, ahora has otras dos. Mi nana que había estado de pie, se sentó en una silla y continuó moviendo los triángulos con tal seriedad que no pude evitar sentirme importante. Finalmente formó el hexágono. Yo estaba muy emocionada al verla mover con tanto entusiasmo los pequeños triángulos, hasta que sonó el timbre de la casa, era don Gonzalo, el señor que nos surtía huevos, leche y queso tres veces a la semana. Como Julia se entretuvo en la cocina, yo recogí mis cosas y me fui a brincar a la cuerda en el patio.

Más tarde entré a la cocina y le dije a Julia que me sirviera un poco de leche tibia con un pan. Aquí tienes mi niña, me dijo. Me le quedé viendo con gran cariño, no podía olvidar sus bondadosos cuidados que me había dedicado durante más de seis meses, cuando sufrí esa extraña enfermedad, justo cuando recién había cumplido diez años. Un día amanecí con un dolor muy fuerte en la ingle de la pierna derecha, ese día no fui al colegio. Al día siguiente tenía las dos piernas muy adoloridas y no podía sostenerme de pie. Mi mamá llamó al médico quién después de auscultarme como a un bicho raro, le dijo: no creo que sea parálisis infantil, pero tenemos que estar atentos, por lo pronto debe tomarse estas medicinas.

Una semana después de tener las piernas completamente debilitadas, mis manos y mis brazos habían comenzado a hacer movimientos incontenibles y desordenados. Cada día la enfermedad iba deteriorando más mis extremidades al grado de no poder controlar los movimientos de mi cuerpo. Un par de semanas después, mi cara estaba afectada por convulsiones y muecas repentinas que me imposibilitaban para poder hablar y comer. Días más tarde perdí la capacidad de emitir cualquier sonido voluntario y en tan sólo un mes estaba convertida en un lamentable y horroroso títere desarticulado.

Mis padres estaban devastados porque el médico les había dicho que padecía la enfermedad de Huntington, vulgarmente conocida como mal de San Vito. El diagnóstico no era nada alentador, ya que se esperaba que tuviera trastornos cognoscitivos y psiquiátricos. Y posiblemente una muerte temprana. Durante esos meses mis papás iban a verme poco y mis hermanos cuando lo hacían, le preguntaban a mi nana si yo estaba ¡…! no pronunciaban la palabra, sino que hacían una seña con su dedo índice moviéndolo en la frente. 

Yo conservo aún en mi memoria, el dolor físico de esa enfermedad, sin embargo, puedo asegurar que jamás perdí mi capacidad de pensar ni de coordinar lógicamente mis ideas, lo que sí puedo decir, es que en esa época mi imaginación se desbordó a tal grado, que en muchas ocasiones tuve sueños verdaderamente extraños y hermosos, muy vívidos, coloridos e incomprensibles. Las ensoñaciones de mi fantasía me recuerdan mucho a los cúmulos de las galaxias que todos podemos observar hoy en día, en cualquier fotografía de la NASA. Fue una época de gran silencio y soledad, pero también fue una época en la que llegué a sentirme inmensamente feliz.

Gracias a mi nana, sobreviví la parte física de la enfermedad, ella se las ingenió para que yo comiera los pocos alimentos que lograba introducir en mi boca. Me bañaba a diario en la tina, primero con agua caliente y luego con agua fría, me administraba a tiempo todos mis medicamentos, masajeaba todo mi cuerpo y me cantaba canciones para que yo me pudiera dormir. A ratos me abrazaba muy fuerte y se me quedaba viendo a los ojos y me decía: mi niña, yo sé que tú me escuchas y me entiendes, ¿verdad? las dos sabemos que te vas a poner bien.

Seis meses después la enfermedad se fue lentamente como llegó, tardé algunos meses en poder caminar sin caerme a cada rato, porque estaba aún muy débil y mi cuerpecito había quedado prácticamente en los huesos. Cuando volví al colegio, me puse al corriente de mis materias y por mi empeño y el afecto que me tenían las monjas no perdí el año escolar.

¡Me falta una figura! me dijo Julia. Corrí por los triángulos y nos quedamos en la mesa de la cocina hasta que finalmente encontró la estrella. 

(Continuará)

Nota: El índice de los capítulos de "Hacia la creatividad cuántica" se encuentra en el cintillo izquierdo del blog.